律学基础

“律学”，即研究音律的学问，为什么要选择 do、re、mi、fa、so、la、si 这七个音作为规范，这些被当成“标尺”的音是怎么产生的、以及它们之间到底是什么关系。

（do、re、mi、fa、so、la、si，都是中世纪时西方教会中很流行的一些拉丁文圣咏（chant）的首音节。这些圣咏是西方现代音乐的源头）

声音的本质是空气的振动。而空气的振动是以波的形式传播的，也就是所谓的声波。所有的波（包括声波、电磁波等等）都有三个最本质的特性：频率／波长、振幅、相位。对于声音来说，声波的频率（声学中一般不考虑波长）决定了这个声音有多“高”，声波的振幅决定了这个声音有多“响”，而人耳对于声波的相位不敏感，所以研究音乐时一般不考虑声波的相位问题。

律学不考虑声音有多“响”，所以律学研究的重点就是声波的频率。一般来说，人耳能听到的声波频率范围是 20HZ 到 20000HZ 之间。声波的频率越大，听起来就越“高”。频率低于 20HZ 的叫“次声波”，高于 20000HZ 的叫“超声波”。

另外，人耳能分辨的最小频率差是 2HZ。例如，人能听出 100HZ 和 102HZ的声音是不同的，但听不出 100HZ 和 101HZ 的声音有什么不同。另外，人耳在高音区的分辨能力迅速下降。

需要特别指出的是，人耳对于声波的频率是指数敏感的。打比方说，100HZ、200HZ、300HZ、400HZ …… 这些声音，人听起来并不觉得它们是“等距离”的，而是觉得越到后面，各个音之间的“距离”越近。100HZ、200HZ、400HZ、800HZ …… 这些声音，人听起来才觉得是“等距离”的。换句话说，某一组声音，如果它们的频率是严格地按照 x1、x2、x4、x8 ……，即按 2n 的规律排列的话，它们听起来才是一个“等差音高序列”。

由于人耳对于频率的指数敏感，上面提到的“x2就意味着等距离”的关系是音乐中最基本的关系。用音乐术语来说，x2 就是一个“八度音程”（octave）。前面提到的 do、re、mi 中的 do，以及 so、la、si 后面的那个高音 do，这两个 do 之间就是八度音程的关系。即，高音 do 的频率是 do 的两倍。显然，一个音的所有“八度音程”都是它的“谐波”，但不是它的所有“谐波”都是自己的“八度音程”。

因此，用 do、re、mi 写的歌，如果换用高音do、高音re、高音mi来写，听众只会觉得音变高了，旋律本身不会有变化。这种等效性，其实就是“等差音高序列”的直接结果。

律学的中心问题就是在一个八度内找到还有哪些音是重要的，即，假设某一个音的频率是F，那么我们要寻找 F 和 2F 之间还有那些重要的频率。

毕达哥拉斯律（五度相生律）

对于弦乐器而言，他们能发声，主要是琴弦的振动。因为弦的振动频率和其长度是成反比的，如果在一根弦振动的时候，用手指按住弦的中点，即让原来全部振动的弦，变成两根以 1/2 长度振动的弦，我们会听到一个比较高的音。这个音和原来的音之间就是八度音程的关系。

如果八度音程的 2:1 的关系在弦乐器上用这么简单一按中点的方式就能实现，那么试试按其它的位置会怎么样呢？数学上 2:1 是最简单的比例关系了，简单性仅次于它的就是 3:1。那么，我们如果按住弦的 1/3 点，会怎么样呢？其结果是弦发出了两个高一些的音。一个音的频率是原来的 3 倍（因为弦长变成了原来的1/3），另一个音是原来的 3/2 倍（因为弦长变成了原来的 2/3）。这两个音彼此也是八度音程的关系（因为它们彼此的弦长比是2:1）。这样，在我们要寻找的F～2F的范围内，出现了第一个重要的频率，即 3/2F。（那个 3F 的频率正好处于下一个八度，即 2F～4F 中的同样位置。）

（3/2F 和 F 是一个纯五度关系，听觉上非常和谐）

接着再试，数学上简单性仅次于 3:1 的是 4:1，我们试试按弦的 1/4 点会怎样？又出现了两个音。一个音的频率是原来的4倍（因为弦长变成了原来的 1/4），这和原来的音（术语叫“主音”）是两个八度音程的关系，可以不去管它。另一个音的频率是主音的4/3倍（因为弦长是原来的3/4）。现在我们又得到了一个重要的频率，4/3F。

（4/3F 和 F 是一个纯四度关系，和谐程度仅次于纯五度）

注：和谐程度就是人耳觉得的好听程度，各比例按和谐程度排列为：1:1（纯一度），2:1（纯八度），3:2（纯五度），4:3（纯四度）， 5:4（大三度），5:3（大六度），6:5（小三度），这些都是后来平均律出现后的术语

要不要继续找 1/5 点、1/6 点等等继续试下去呢？不行，因为听觉上这些音与主音的和谐程度远不及 3/2F、4/3F。实际上 4/3F 已经比 3/2F 的和谐程度要低不少了。于是有人换了一种方法。与主音F最和谐的 3/2F 已经找到了，他们转而找 3/2F 的 3/2F，即与最和谐的那个音最和谐的音，这样就得到了(3/2)^2 F 即 9/4F。可是这已经超出了2F的范围，进入了下一个八度。没关系，不是有“等差音高序列”吗？在下一个八度中的音，在这一个八度中当然有与它等价的一个音，于是把 9/4F 的频率除 2，便得到了 9/8F。

接着把这个过程循环一遍，找 3/2 的3次方，于是就有了 27/8F，这也在下一个八度中，再次频率减半，得到了 27/16F。

因为这样循环下去会没完没了的。我们最理想的情况是某一次循环之后，会得到主音的某一个八度，这样就算是“回到”了主音上，不用继续找下去了。可是(3/2)^n，只要 n 是自然数，其结果都不会是整数，更不用说是 2 的某次方。律学所有的麻烦就此开始。

数学上不可能的事，只能从数学上想办法。古人的对策就是“取近似值”。他们注意到(3/2)^5≈7.59，和 2^3＝8 很接近，于是决定这个音就是他们要找的最后一个音，比这个音再高一点就是主音的第三个八度了。这样，从主音 F 开始，我们只需把“按 3/2 比例寻找最和谐音”这个过程循环5次，得到了5个音，加上主音和 4/3F，一共是 7 个音。这就是为什么音律上要取 do、re、mi 等 7 个音符而不是 6 个音符或者 8 个音符的原因。

这 7 个音符的频率，从小到大分别是F、9/8F、81/64F、4/3F、3/2F、27/16F、243/128F。

这 7 个音都有各自正式的名字，在西方音乐术语中，它们分别被叫做主音（tonic）、上主音（supertonic）、中音（mediant）、下属音（subdominant）、属音（dominant）、下中音（submediant）、导音（leading tone）。其中和主音关系最密切的是第 5 个“属音” so 和第 4 个“下属音” fa，原因前面已经说过了，因为它们和主音的和谐程度分别是第一高和第二高的。由于这个音律主要是从“属音” so 即 3/2F 推导出来的，而 3/2 这个比例在西方音乐术语中叫“纯五度”，所以这种音律叫做“五度相生律”。

西方最早提出“五度相生律”的是古希腊的毕达哥拉斯，东方是《管子》一书中提出的，作者待考据。我国历代的各种音律也都是这种方法推导出来的（三分损益律），也可以认为它们都是“五度相生律”。

仔细看上面“五度相生律” 7 声音阶的频率，可以发现它们彼此的关系很简单：do～re、re～mi、fa～so、so～la、la～si 之间的频率比都是9:8，这个比例被称为全音（tone）；mi～fa、si～do 之间的频率比都是256:243，这个比例被称为半音（semitone）。

纯律

“五度相生律”产生的 7 声音阶，自诞生之日起就不断被批评。原因之一就是它太复杂了。前面说过，如果按住弦的 1/5 点或者 1/6 点，得到的音已经和主音不怎么和谐了，现在居然出现了 81/64 和 243/128 这样的比例，这不会太好听吧？于是有人开始对这7个音的频率做点调整，于是就出现了“纯律”（just intonation）。

“纯律”的重点是让各个音尽量与主音和谐起来，也就是说让各个音和主音的频率比尽量简单。“纯律”的发明人是古希腊学者，塔壬同（今意大利南部的塔兰托城）的亚理斯托森努斯（Aristoxenus of Tarentum）。此人是亚理士多德的学生，约生活在公元前3世纪。他的学说的重点就是要靠耳朵，而不是靠数学来主导音乐。他的书籍现在留下来的只有残篇，不过可以证实的是他最先提出了所谓“自然音阶”。（东方似乎没有人独立提出“纯律”的概念。）

自然音阶也有 7 个音，但和“五度相生律”的 7 声音阶有不小差别。7 个自然音阶的频率分别是：F、9/8F、5/4F、4/3F、3/2F、5/3F、15/8F。确实简单多了吧？也确实好听多了。这么简单的比例，就是“纯律”。

可以看出“纯律”不光用到了 3/2 的比例，还用到了 5/4 的比例。新的 7 个频率中和原来不同的就是 5/4F、5/3（＝5/4×4/3）F、15/8（＝5/4×3/2）F。

虽然“纯律”的 7 声音阶比“五度相生律”的 7 声音阶要好听，数学上也简单，但它本身也有很大的问题。虽然各个音和主音的比例变简单了，但各音之间的关系变复杂了。原来“五度相生律” 7 声音阶之间只有“全音”和“半音” 2 种比例关系，现在则出现了 3 种：9:8（被叫做“大全音”，major tone，就是原来的“全音”）、10:9（被叫做“小全音”，minor tone）、16:15（新的“半音”）。各位把自然音阶的频率互相除一下就能得到这个结果。更进一步说，如果比较自然音阶中的 re 和 fa，其频率比是 27/32，这也不怎么简单，也不怎么好听，所以说“纯律”对“五度相生律”的修正是不彻底的。事实上，“纯律”远没有“五度相生律”流行。

十二平均律

对于“五度相生律”的另一种修正是从另一个方向展开的。还记得为什么要取 7 个音符吗？是因为 (3/2)^5≈7.59，和 2^3＝8 很接近。可这毕竟是近似值，而不是完全相等。在一个八度之内，这么小的差距也许没什么，但是如果乐器的音域跨越了好几个八度，那么这种近似就显得不怎么好了。于是人们开始寻找更好的近似值。

通过计算，古人发现 (3/2)^12≈129.7，和 2^7＝128 很接近，于是他们把“五度相生律”中“按 3/2 比例寻找最和谐音”的循环过程重复 12 次，便认为已经到达了主音的第 7 个八度。再加上原来的主音和 4/3F，现在就有了 12 个音符。

注意，现在的“规范”音阶不是 do、re、mi… 等 7 个音符了，而是 12 个音符。这种经过修改的“五度相生律”推出的 12 声音阶，其频率分别是：F、2187/2046F、9/8F、19683/16384F、81/64F、4/3F、729/512F、3/2F、6561/4096F、27/16F、59049/32768F、243/128F。

和前面的“五度相生律”的 7 声音阶对比一下，可以发现原来的 7 个音都还在，只是多了 5 个，分别插在它们之间。用正式的音乐术语称呼原来的 7 个音符，分别是 C、D、E、F、G、A、B。新多出来的 5 个音符于是被叫做 C#（读做“升C”）、D#、F#、G#、A#。12音阶现在不能用 do、re、mi的叫法了，应该被叫做：C、C#、D、D#、E、F、F#、G、G#、A、A#、B。把相邻两个音符的频率互相除一下，就会发现它们之间的比例只有两种：256:243（就是原来的“半音”，也叫做“自然半音”），2187:2048（这被叫做“变化半音”）。

也就是说，这 12 个音符几乎可以说又构成了一个“等差音高序列”。它们之间的“距离”几乎是相等的。（当然，如果相邻两个音符之间的比例只有一种的话，就是严格的“距离”相等了。）原来的 7 声音阶中，C～D、D～E、F～G、G～A、A～B 之间都相隔一个“全音”，现在则认为它们之间相隔了两个“半音”。这也就是“全”、“半”这种叫法的根据。

既然 C# 被认为是从 C “升”了半音得到的，那么 C# 也可以被认为是从 D “降”了半音得到的，所以 C# 和 Db（读做“降D”）就被认为是等价的。事实上，5 个新加入的音符也可以被写做：Db、Eb、Gb、Ab、Bb。

这种 12 声音阶在音乐界的地位，我只用举一个例子就能说明了。钢琴上的所有白键对应的就是原来 7 声音阶中的 C、D…B，所有的黑键对应的就是 12 声音阶中新加入的 C#、Eb…Bb。

从 7 声音阶发展到 12 声音阶的做法，在西方和东方都出现得很早。《管子》中实际上已经提出了 12 声音阶，后来的中国音律也大多是以“五度相生律”的 12 声音阶为主。毕达哥拉斯学派也有提出这 12 声音阶的。不过西方要到中世纪晚期才重新发现它们。

能不能把“五度相生律”的 12 声音阶再往前发展一下呢？可以的。12 声音阶的依据就是 (3/2)^12≈129.7，和 2^7＝128 很接近，按照这个思路，继续找接近的值就可以了嘛。

还有人真地找到了，此人就是我国西汉的著名学者京房（77BC~47BC）。他发现 (3/2)^53≈2.151×10^9，和 2^31≈2.147×10^9 也很接近，于是提出了一个 53 音阶的新音律。计算这样的高次幂问题对古人来说是相当麻烦的。

当然，京房的新律并没有流行开，原因就是53个音阶也太麻烦了吧！开始学音乐的时候要记住这么多音符，谁还会有兴趣哦！但是这种努力是值得肯定的，也说明12声音阶也不完美，也确实需要改进。

“五度相生律”的 12 声音阶中的主要问题是，相邻音符的频率比例有两种（自然半音和变化半音），而不是一种。而且两种半音彼此差距还不小。（2187:2048）/（256:243）≈1.014。好像差不多哦？但其实自然半音本身就是 256:243≈1.053 了。

如果 12 声音阶是真正的“等差音高序列”的话，每个半音就应该是相等的，各个音阶就应该是“等距离”的。也就是说，真正的 12 声音阶可以把一个八度“等分”成 12 份。为什么这么强调“等分”、“等距离”呢？因为在音乐的发展过程中，人们越来越觉得有“转调”的必要了。